#геометрия — Public Fediverse posts

Как определить выпуклость многоугольника на C: от геометрии к коду

На первый взгляд задача определения выпуклости многоугольника кажется геометрически сложной. Но на практике всё сводится к простой идее — достаточно последовательно пройти по вершинам и определить направление поворота. В этой статье разберём, почему именно три точки позволяют определить поворот, откуда берётся формула через векторное произведение и как всё это аккуратно реализовать на C. Также затронем важные нюансы, которые часто упускают: переполнение при вычислениях, порядок обхода вершин и обработку вырожденных случаев. В итоге получится не просто решение, а понимание того, как работает один из базовых алгоритмов вычислительной геометрии.

https://habr.com/ru/articles/1013262/

#C #алгоритмы #геометрия #программирование #математика

Не биты, а тетраэдры: как я построил геометрический движок состояний и ускорил точную задачу в 555 раз

Мы привыкли думать о вычислениях как о битах, регистрах и арифметике. А что, если базовой единицей вычисления сделать не бит, а локальную геометрическую конфигурацию тетраэдров? В этой статье я покажу дискретный тетраэдрический движок состояний, симметрийную канонизацию, аттракторы, иерархические jump-таблицы и реальные замеры на RTX 3090 — с измеренным exact-ускорением в 554.92 раза на одной и той же задаче.

https://habr.com/ru/articles/1011646/

#тетраэдр #геометрия #симметрия #алгоритм #аттрактор #канонизация #оптимизация #GPU #состояние #мотив

[Перевод] Две скрученные фигуры разрешают многовековую топологическую загадку

Впервые математики обнаружили пример компактной кольцеобразной поверхности, которая имеет те же локальные геометрические характеристики, что и другая поверхность, несмотря на совершенно иную глобальную структуру.. Представьте, что наше небо всегда покрыто толстым слоем непрозрачных облаков. Не имея возможности увидеть звезды или рассмотреть нашу планету сверху, узнали бы мы когда-нибудь, что Земля круглая? Ответ — да. Измеряя определённые расстояния и углы на поверхности Земли, мы можем определить, что Земля — это сфера, а не, скажем, плоская или кольцеобразная фигура, — даже без спутникового снимка. Математики обнаружили, что это часто справедливо и для двумерных поверхностей в более общем случае: относительно небольшого количества локальной информации о поверхности достаточно, чтобы определить её общую форму. Часть однозначно определяет целое. Однако в некоторых случаях одни и те же локальные данные описывают сразу несколько разных поверхностей. Последние 150 лет математики занимались каталогизацией таких исключений. Но единственными исключениями, которые им удалось найти, были не компактные, замкнутые поверхности, такие как шары или пончики, — вместо этого они простирались бесконечно в каком-либо направлении или имели края, то есть были незамкнутыми. Никто не мог найти замкнутую поверхность, нарушающую это правило. Постепенно математикам стало казаться, что таких поверхностей просто не существует. Они ошибались.

https://habr.com/ru/companies/first/articles/1010700/

#топология #математика #геометрия #задача_Бонне #дискретная_геометрия #тор

Траектория манёвра летательного аппарата: от школьной геометрии до реального полёта

Представьте: летательный аппарат следует по заданному маршруту на постоянной высоте. Курс выдержан, скорость стабильна. Но впереди — следующая точка маршрута, и она в стороне от текущего направления. Нужно повернуть. Казалось бы, что тут сложного? Повернул — и летишь дальше. Но у летательного аппарата фиксированного типа есть одно жёсткое ограничение: минимальный радиус разворота . Он не может крутануться на месте. Любой манёвр — это дуга с конкретным радиусом, продиктованным физикой: скоростью, аэродинамикой, конструкцией. Отсюда возникает задача, которую система управления должна решить заранее: как именно проложить траекторию разворота? Где заканчивается прямолинейный полёт и начинается дуга? Где дуга переходит обратно в прямую, ведущую к цели? Какова длина этой дуги — чтобы автопилот знал, сколько лететь по ней? Именно эту задачу мы и разберём. Для её решения не понадобится ничего сверхъестественного — только геометрия 9–11 класса : касательная к окружности, теорема Пифагора, подобие треугольников. Весь необходимый аппарат вы уже проходили — просто, возможно, не думали, что он управляет реальными летательными аппаратами. И вот что интересно: задача достаточно простая, чтобы школьник старших классов не только разобрался в математике, но и самостоятельно построил модель в среде динамического моделирования. Именно это мы и сделаем в конце статьи — разберём реализацию в Engee , с которой вполне справится любой, кто знаком с основами программирования. В статье мы пройдём путь от постановки задачи через математику — к реализации модели и выбору оптимальной траектории манёвра.

https://habr.com/ru/articles/1007036/

#геометрия #разворот #траектория #касательная #Julia #Engee #навигация #летательный_аппарат #задача_Дубинса

Траектория манёвра летательного аппарата: от школьной геометрии до реального полёта

Представьте: летательный аппарат следует по заданному маршруту на постоянной высоте. Курс выдержан, скорость стабильна. Но впереди — следующая точка маршрута, и она в стороне от текущего направления. Нужно повернуть. Казалось бы, что тут сложного? Повернул — и летишь дальше. Но у летательного аппарата фиксированного типа есть одно жёсткое ограничение: минимальный радиус разворота . Он не может крутануться на месте. Любой манёвр — это дуга с конкретным радиусом, продиктованным физикой: скоростью, аэродинамикой, конструкцией. Отсюда возникает задача, которую система управления должна решить заранее: как именно проложить траекторию разворота? Где заканчивается прямолинейный полёт и начинается дуга? Где дуга переходит обратно в прямую, ведущую к цели? Какова длина этой дуги — чтобы автопилот знал, сколько лететь по ней? Именно эту задачу мы и разберём. Для её решения не понадобится ничего сверхъестественного — только геометрия 9–11 класса : касательная к окружности, теорема Пифагора, подобие треугольников. Весь необходимый аппарат вы уже проходили — просто, возможно, не думали, что он управляет реальными летательными аппаратами. И вот что интересно: задача достаточно простая, чтобы школьник старших классов не только разобрался в математике, но и самостоятельно построил модель в среде динамического моделирования. Именно это мы и сделаем в конце статьи — разберём реализацию в Engee , с которой вполне справится любой, кто знаком с основами программирования. В статье мы пройдём путь от постановки задачи через математику — к реализации модели и выбору оптимальной траектории манёвра.

https://habr.com/ru/articles/1007036/

#геометрия #разворот #траектория #касательная #Julia #Engee #навигация #летательный_аппарат #задача_Дубинса

Траектория манёвра летательного аппарата: от школьной геометрии до реального полёта

Представьте: летательный аппарат следует по заданному маршруту на постоянной высоте. Курс выдержан, скорость стабильна. Но впереди — следующая точка маршрута, и она в стороне от текущего направления. Нужно повернуть. Казалось бы, что тут сложного? Повернул — и летишь дальше. Но у летательного аппарата фиксированного типа есть одно жёсткое ограничение: минимальный радиус разворота . Он не может крутануться на месте. Любой манёвр — это дуга с конкретным радиусом, продиктованным физикой: скоростью, аэродинамикой, конструкцией. Отсюда возникает задача, которую система управления должна решить заранее: как именно проложить траекторию разворота? Где заканчивается прямолинейный полёт и начинается дуга? Где дуга переходит обратно в прямую, ведущую к цели? Какова длина этой дуги — чтобы автопилот знал, сколько лететь по ней? Именно эту задачу мы и разберём. Для её решения не понадобится ничего сверхъестественного — только геометрия 9–11 класса : касательная к окружности, теорема Пифагора, подобие треугольников. Весь необходимый аппарат вы уже проходили — просто, возможно, не думали, что он управляет реальными летательными аппаратами. И вот что интересно: задача достаточно простая, чтобы школьник старших классов не только разобрался в математике, но и самостоятельно построил модель в среде динамического моделирования. Именно это мы и сделаем в конце статьи — разберём реализацию в Engee , с которой вполне справится любой, кто знаком с основами программирования. В статье мы пройдём путь от постановки задачи через математику — к реализации модели и выбору оптимальной траектории манёвра.

https://habr.com/ru/articles/1007036/

#геометрия #разворот #траектория #касательная #Julia #Engee #навигация #летательный_аппарат #задача_Дубинса

Траектория манёвра летательного аппарата: от школьной геометрии до реального полёта

Представьте: летательный аппарат следует по заданному маршруту на постоянной высоте. Курс выдержан, скорость стабильна. Но впереди — следующая точка маршрута, и она в стороне от текущего направления. Нужно повернуть. Казалось бы, что тут сложного? Повернул — и летишь дальше. Но у летательного аппарата фиксированного типа есть одно жёсткое ограничение: минимальный радиус разворота . Он не может крутануться на месте. Любой манёвр — это дуга с конкретным радиусом, продиктованным физикой: скоростью, аэродинамикой, конструкцией. Отсюда возникает задача, которую система управления должна решить заранее: как именно проложить траекторию разворота? Где заканчивается прямолинейный полёт и начинается дуга? Где дуга переходит обратно в прямую, ведущую к цели? Какова длина этой дуги — чтобы автопилот знал, сколько лететь по ней? Именно эту задачу мы и разберём. Для её решения не понадобится ничего сверхъестественного — только геометрия 9–11 класса : касательная к окружности, теорема Пифагора, подобие треугольников. Весь необходимый аппарат вы уже проходили — просто, возможно, не думали, что он управляет реальными летательными аппаратами. И вот что интересно: задача достаточно простая, чтобы школьник старших классов не только разобрался в математике, но и самостоятельно построил модель в среде динамического моделирования. Именно это мы и сделаем в конце статьи — разберём реализацию в Engee , с которой вполне справится любой, кто знаком с основами программирования. В статье мы пройдём путь от постановки задачи через математику — к реализации модели и выбору оптимальной траектории манёвра.

https://habr.com/ru/articles/1007036/

#геометрия #разворот #траектория #касательная #Julia #Engee #навигация #летательный_аппарат #задача_Дубинса

Про некоммутативный тор:

Представьте себе тор, бублик, по факту он является декартовым произведением двух окружностей, можно представить так: первая окружность отвечает за объективный размер тора, а вторая за его толщну/жирность

Собственно по этой причине мы можем ввести координаты на торе (φ,ψ) как углы (по одной окружности повернулись на φ, по другой на ψ)

Любое перемещение на торе, это по сути отображение из (φ,ψ) в (fφ,fψ)
А это можно свести какой-то комбинации поворотов на разные углы и собственно любую такую функцию представить как сумму таких примитивных сдвигов

А теперь расмотрим C(T²) - непрерывные функций с тора на ℂ
Они тоже строятся как комбинация примитивных отображений

φ -> exp(iφ)
ψ -> exp(iψ)

То есть качественно мы все можем разделять операции на торе через (φ,ψ), у нас есть понятные обозначения что бы понять с какой из двух окружностей мы имеем дело

Это позволяет нам все еще воспринимать C(T²) как что-то крепко связанное к с тором...

#математика #геометрия

Давайте объединим линейную и геометрическую алгебры. На простом примере. Часть 1

Привет Хабр! Если вы когда-нибудь решали школьные задачи с параллелограммом, то знаете: найти все стороны, углы, диагонали, да ещё и опустить на них высоты — возни много. А потом ещё проверить, не перепутал ли ты, где синус, а где косинус. Оказывается, всю эту геометрию можно упаковать в одну маленькую матрицу 2×2. Буквально: берем два вектора-столбца, составляем матрицу — и в ней уже зашиты все возможные характеристики фигуры. Осталось только научиться их оттуда доставать. Во второй части хочу в том же ключе описать приемы посерьезнее: базис Клиффорда, сингулярное разложение, функция от матрицы. Поэтому ваши комментарии к этой части важны, чтобы проще написать следующую часть.

https://habr.com/ru/articles/1002526/

#геометрия #матрицы #алгебра_клиффорда #кватернионы #матрицы_паули #векторы

У врат проективной геометрии, или как возникает двойное отношение

Мы придём к фундаментальному инварианту проективной геометрии — двойному отношению — решая задачу классификации конфигураций четырёх прямых на плоскости. Это своего рода миниатюра, в которой видно, насколько классификация четвёрок подпространств сложнее классификации троек. Именно, взаимное положение трёх подпространств определяется дискретными инвариантами — размерностями сумм и пересечений, а для четырёх подпространств таких инвариантов недостаточно — нужны непрерывные инваринаты, что видно уже на примере прямых. Подчеркнём, что мы будем рассматривать только линейную структуру на плоскости, то есть: 1. начало координат фиксировано; 2. про длины и углы забудьте.

https://habr.com/ru/articles/1000604/

#геометрия #шад #шад_helper #шад_хелпер #канунников #проективная_геометрия #двойное_отношение #инвариант #пространства

У врат проективной геометрии, или как возникает двойное отношение

Мы придём к фундаментальному инварианту проективной геометрии — двойному отношению — решая задачу классификации конфигураций четырёх прямых на плоскости. Это своего рода миниатюра, в которой видно, насколько классификация четвёрок подпространств сложнее классификации троек. Именно, взаимное положение трёх подпространств определяется дискретными инвариантами — размерностями сумм и пересечений, а для четырёх подпространств таких инвариантов недостаточно — нужны непрерывные инваринаты, что видно уже на примере прямых. Подчеркнём, что мы будем рассматривать только линейную структуру на плоскости, то есть: 1. начало координат фиксировано; 2. про длины и углы забудьте.

https://habr.com/ru/articles/1000604/

#геометрия #шад #шад_helper #шад_хелпер #канунников #проективная_геометрия #двойное_отношение #инвариант #пространства

У врат проективной геометрии, или как возникает двойное отношение

Мы придём к фундаментальному инварианту проективной геометрии — двойному отношению — решая задачу классификации конфигураций четырёх прямых на плоскости. Это своего рода миниатюра, в которой видно, насколько классификация четвёрок подпространств сложнее классификации троек. Именно, взаимное положение трёх подпространств определяется дискретными инвариантами — размерностями сумм и пересечений, а для четырёх подпространств таких инвариантов недостаточно — нужны непрерывные инваринаты, что видно уже на примере прямых. Подчеркнём, что мы будем рассматривать только линейную структуру на плоскости, то есть: 1. начало координат фиксировано; 2. про длины и углы забудьте.

https://habr.com/ru/articles/1000604/

#геометрия #шад #шад_helper #шад_хелпер #канунников #проективная_геометрия #двойное_отношение #инвариант #пространства

У врат проективной геометрии, или как возникает двойное отношение

Мы придём к фундаментальному инварианту проективной геометрии — двойному отношению — решая задачу классификации конфигураций четырёх прямых на плоскости. Это своего рода миниатюра, в которой видно, насколько классификация четвёрок подпространств сложнее классификации троек. Именно, взаимное положение трёх подпространств определяется дискретными инвариантами — размерностями сумм и пересечений, а для четырёх подпространств таких инвариантов недостаточно — нужны непрерывные инваринаты, что видно уже на примере прямых. Подчеркнём, что мы будем рассматривать только линейную структуру на плоскости, то есть: 1. начало координат фиксировано; 2. про длины и углы забудьте.

https://habr.com/ru/articles/1000604/

#геометрия #шад #шад_helper #шад_хелпер #канунников #проективная_геометрия #двойное_отношение #инвариант #пространства

Визуализация 2+1D в Виртуальной Вселенной

Предыдущие части: « Геометрическая головоломка на выходные », « Электродинамика виртуальной Вселенной », « Механика виртуальной Вселенной », « Квантовая механика виртуальной Вселенной (Часть I) », « Квантовая механика виртуальной Вселенной (Часть II) » « Релятивизм виртуальной Вселенной » « Космология виртуальной Вселенной (Часть I) » « Космология виртуальной Вселенной (Часть II) » « Электричество, проводимость и сверхпроводимость в виртуальной Вселенной » « Атом в Виртуальной Вселенной (Часть I) » « Атом в Виртуальной Вселенной (Часть II) » « Атом в Виртуальной Вселенной (Часть III) [Химия] » Здравствуйте, мои уважаемые читатели. Следующим шагом я хотел приступить к описанию ядра атома в рамках описанной ранее теории. Но по комментариям и при личном обсуждении, пришёл к выводу, что теория хоть и является минималистичной, но всё-же, интуитивному её пониманию сильно мешает то, что всё обсуждение строится в 3+1 геометрических измерениях. С одной стороны — их не 11, как в теории суперструн, но и 4 — это сложно для понимания для неподготовленного человека. Да и, кого я обманываю — даже подготовленному проще оперировать формулами, чем образами в пространствах, размерностью выше трёх. Но в этой модели очень важно понимать её онтологию, суть процесса. Формулы являются лишь языком, позволяющим (вот тут будет тавтология) описать формализм системы и дать возможность оценить её качественно и количественно. Эти размышления привели меня к мысли о необходимости дать расширенное визуальное описание системы. Я не придумал ничего лучше, чем понизить размерность. Исходно, у нас система представляет собой трёхмерную сферу S 3 . А давайте рассмотрим такую же модель, но на сфере S 2 . Да, удастся показать не всё — например, спин 1/2 здесь показать не выйдет. Но кое что должно проявиться и дать интуицию.

https://habr.com/ru/articles/994360/

#научнопопулярное #физика #математика #геометрия #визуализация #python

Создание системы по управлению цифровыми активами для базы данных PostGIS. Часть 1. Работа с геометрией объектов

Здравствуйте, уважаемые читателя Хабра! В серии статей хочу рассказать о создании основного функционала MVP (Minimum Value Product) системы по управлению цифровыми активами для базы данных PostGIS. В этой публикации рассмотрим как быстро находить одинаковые и похожие по геометрии объекты среди тысячи таблиц и 300 млн записей. Интересно? Читать!

https://habr.com/ru/articles/993636/

#PostGIS #postgresql #геометрия #геоинформационные_системы #sql #кластеризация #поиск

Идентификация звёзд и при чём тут сингулярное разложение

Рассказ о том, как с помощью одной матрицы и двух чисел научиться распознавать любые созвездия на небе.

https://habr.com/ru/articles/990722/

#идентификация #звёзды #алгоритм #микроконтроллер #датчик #программирование #обработка_изображений #геометрия #астрономия #космос

Атом в Виртуальной Вселенной (Часть II)

Предыдущие части: « Геометрическая головоломка на выходные », « Электродинамика виртуальной Вселенной », « Механика виртуальной Вселенной », « Квантовая механика виртуальной Вселенной (Часть I) », « Квантовая механика виртуальной Вселенной (Часть II) » « Релятивизм виртуальной Вселенной » « Космология виртуальной Вселенной (Часть I) » « Космология виртуальной Вселенной (Часть II) » « Электричество, проводимость и сверхпроводимость в виртуальной Вселенной » « Атом в Виртуальной Вселенной (Часть I) » В предыдущей части мы рассмотрели элементарные принципы, описывающие устройство и поведение атома в фазово-геометрической картине «виртуальной Вселенной». Речь шла прежде всего о фундаменте: геометрии SU(2)-фазы, роли компактного пространства, механизме возникновения атомной структуры и причинах дискретности энергетических уровней. Теперь мы перейдём к следующему шагу и попробуем ответить на более сложные и менее «удобные» вопросы. Что происходит, когда в атоме появляется не один электрон, а несколько? Почему электронные состояния не накладываются друг на друга? Откуда берутся правила заполнения оболочек, и почему химия вообще возможна? В стандартной квантовой механике ответы на эти вопросы формулируются в виде отдельных принципов и правил — принципа Паули, правила Клечковского, правил Хунда и Слейтера. В рамках предлагаемой модели мы попробуем проследить, следуют ли эти правила из фазовой геометрии, или же они остаются независимыми эмпирическими фактами. Иными словами, если в первой части мы убедились, что атом как таковой в этой картине возможен, то теперь пришло время проверить, насколько далеко эта возможность простирается.

https://habr.com/ru/articles/986994/

#научнопопулярное #научпоп #физика #физика_элементарных_частиц #физика_высоких_энергий #геометрия

Атом в Виртуальной Вселенной (Часть II)

Предыдущие части: « Геометрическая головоломка на выходные », « Электродинамика виртуальной Вселенной », « Механика виртуальной Вселенной », « Квантовая механика виртуальной Вселенной (Часть I) », « Квантовая механика виртуальной Вселенной (Часть II) » « Релятивизм виртуальной Вселенной » « Космология виртуальной Вселенной (Часть I) » « Космология виртуальной Вселенной (Часть II) » « Электричество, проводимость и сверхпроводимость в виртуальной Вселенной » « Атом в Виртуальной Вселенной (Часть I) » В предыдущей части мы рассмотрели элементарные принципы, описывающие устройство и поведение атома в фазово-геометрической картине «виртуальной Вселенной». Речь шла прежде всего о фундаменте: геометрии SU(2)-фазы, роли компактного пространства, механизме возникновения атомной структуры и причинах дискретности энергетических уровней. Теперь мы перейдём к следующему шагу и попробуем ответить на более сложные и менее «удобные» вопросы. Что происходит, когда в атоме появляется не один электрон, а несколько? Почему электронные состояния не накладываются друг на друга? Откуда берутся правила заполнения оболочек, и почему химия вообще возможна? В стандартной квантовой механике ответы на эти вопросы формулируются в виде отдельных принципов и правил — принципа Паули, правила Клечковского, правил Хунда и Слейтера. В рамках предлагаемой модели мы попробуем проследить, следуют ли эти правила из фазовой геометрии, или же они остаются независимыми эмпирическими фактами. Иными словами, если в первой части мы убедились, что атом как таковой в этой картине возможен, то теперь пришло время проверить, насколько далеко эта возможность простирается.

https://habr.com/ru/articles/986994/

#научнопопулярное #научпоп #физика #физика_элементарных_частиц #физика_высоких_энергий #геометрия

Атом в Виртуальной Вселенной (Часть II)

Предыдущие части: « Геометрическая головоломка на выходные », « Электродинамика виртуальной Вселенной », « Механика виртуальной Вселенной », « Квантовая механика виртуальной Вселенной (Часть I) », « Квантовая механика виртуальной Вселенной (Часть II) » « Релятивизм виртуальной Вселенной » « Космология виртуальной Вселенной (Часть I) » « Космология виртуальной Вселенной (Часть II) » « Электричество, проводимость и сверхпроводимость в виртуальной Вселенной » « Атом в Виртуальной Вселенной (Часть I) » В предыдущей части мы рассмотрели элементарные принципы, описывающие устройство и поведение атома в фазово-геометрической картине «виртуальной Вселенной». Речь шла прежде всего о фундаменте: геометрии SU(2)-фазы, роли компактного пространства, механизме возникновения атомной структуры и причинах дискретности энергетических уровней. Теперь мы перейдём к следующему шагу и попробуем ответить на более сложные и менее «удобные» вопросы. Что происходит, когда в атоме появляется не один электрон, а несколько? Почему электронные состояния не накладываются друг на друга? Откуда берутся правила заполнения оболочек, и почему химия вообще возможна? В стандартной квантовой механике ответы на эти вопросы формулируются в виде отдельных принципов и правил — принципа Паули, правила Клечковского, правил Хунда и Слейтера. В рамках предлагаемой модели мы попробуем проследить, следуют ли эти правила из фазовой геометрии, или же они остаются независимыми эмпирическими фактами. Иными словами, если в первой части мы убедились, что атом как таковой в этой картине возможен, то теперь пришло время проверить, насколько далеко эта возможность простирается.

https://habr.com/ru/articles/986994/

#научнопопулярное #научпоп #физика #физика_элементарных_частиц #физика_высоких_энергий #геометрия

Атом в Виртуальной Вселенной (Часть II)

Предыдущие части: « Геометрическая головоломка на выходные », « Электродинамика виртуальной Вселенной », « Механика виртуальной Вселенной », « Квантовая механика виртуальной Вселенной (Часть I) », « Квантовая механика виртуальной Вселенной (Часть II) » « Релятивизм виртуальной Вселенной » « Космология виртуальной Вселенной (Часть I) » « Космология виртуальной Вселенной (Часть II) » « Электричество, проводимость и сверхпроводимость в виртуальной Вселенной » « Атом в Виртуальной Вселенной (Часть I) » В предыдущей части мы рассмотрели элементарные принципы, описывающие устройство и поведение атома в фазово-геометрической картине «виртуальной Вселенной». Речь шла прежде всего о фундаменте: геометрии SU(2)-фазы, роли компактного пространства, механизме возникновения атомной структуры и причинах дискретности энергетических уровней. Теперь мы перейдём к следующему шагу и попробуем ответить на более сложные и менее «удобные» вопросы. Что происходит, когда в атоме появляется не один электрон, а несколько? Почему электронные состояния не накладываются друг на друга? Откуда берутся правила заполнения оболочек, и почему химия вообще возможна? В стандартной квантовой механике ответы на эти вопросы формулируются в виде отдельных принципов и правил — принципа Паули, правила Клечковского, правил Хунда и Слейтера. В рамках предлагаемой модели мы попробуем проследить, следуют ли эти правила из фазовой геометрии, или же они остаются независимыми эмпирическими фактами. Иными словами, если в первой части мы убедились, что атом как таковой в этой картине возможен, то теперь пришло время проверить, насколько далеко эта возможность простирается.

https://habr.com/ru/articles/986994/

#научнопопулярное #научпоп #физика #физика_элементарных_частиц #физика_высоких_энергий #геометрия

Атом в Виртуальной Вселенной (Часть I)

Здравствуйте, мои уважаемые читатели. Исследование так называемой «Виртуальной Вселенной» продолжается — и, к счастью, пока не упёрлось ни в окончательные ответы, ни в окончательные разочарования. В этой статье я расскожу об атоме в рамках рассмотренной ранее теории, которую мы строили. Атом изучен очень хорошо. Его спектры известны с высокой точностью, его устойчивость проверена экспериментом, а любые теоретические допущения в этой области быстро становятся видны. Если геометрический фазовый подход действительно претендует на отражение физической реальности, то он обязан воспроизвести атомную структуру без апелляции к дополнительным квантовым постулатам и без подгонки под известный результат.

https://habr.com/ru/articles/986648/

#научнопопулярное #физика #физика_элементарных_частиц #физика_высоких_энергий #геометрия

Атом в Виртуальной Вселенной (Часть I)

Здравствуйте, мои уважаемые читатели. Исследование так называемой «Виртуальной Вселенной» продолжается — и, к счастью, пока не упёрлось ни в окончательные ответы, ни в окончательные разочарования. В этой статье я расскожу об атоме в рамках рассмотренной ранее теории, которую мы строили. Атом изучен очень хорошо. Его спектры известны с высокой точностью, его устойчивость проверена экспериментом, а любые теоретические допущения в этой области быстро становятся видны. Если геометрический фазовый подход действительно претендует на отражение физической реальности, то он обязан воспроизвести атомную структуру без апелляции к дополнительным квантовым постулатам и без подгонки под известный результат.

https://habr.com/ru/articles/986648/

#научнопопулярное #физика #физика_элементарных_частиц #физика_высоких_энергий #геометрия

Атом в Виртуальной Вселенной (Часть I)

Здравствуйте, мои уважаемые читатели. Исследование так называемой «Виртуальной Вселенной» продолжается — и, к счастью, пока не упёрлось ни в окончательные ответы, ни в окончательные разочарования. В этой статье я расскожу об атоме в рамках рассмотренной ранее теории, которую мы строили. Атом изучен очень хорошо. Его спектры известны с высокой точностью, его устойчивость проверена экспериментом, а любые теоретические допущения в этой области быстро становятся видны. Если геометрический фазовый подход действительно претендует на отражение физической реальности, то он обязан воспроизвести атомную структуру без апелляции к дополнительным квантовым постулатам и без подгонки под известный результат.

https://habr.com/ru/articles/986648/

#научнопопулярное #физика #физика_элементарных_частиц #физика_высоких_энергий #геометрия

Атом в Виртуальной Вселенной (Часть I)

Здравствуйте, мои уважаемые читатели. Исследование так называемой «Виртуальной Вселенной» продолжается — и, к счастью, пока не упёрлось ни в окончательные ответы, ни в окончательные разочарования. В этой статье я расскожу об атоме в рамках рассмотренной ранее теории, которую мы строили. Атом изучен очень хорошо. Его спектры известны с высокой точностью, его устойчивость проверена экспериментом, а любые теоретические допущения в этой области быстро становятся видны. Если геометрический фазовый подход действительно претендует на отражение физической реальности, то он обязан воспроизвести атомную структуру без апелляции к дополнительным квантовым постулатам и без подгонки под известный результат.

https://habr.com/ru/articles/986648/

#научнопопулярное #физика #физика_элементарных_частиц #физика_высоких_энергий #геометрия

Царский путь к пониманию комплексных чисел. Часть I

Представьте, что вам сказали: «Этого не существует, просто запомни». Многие из вас слышали это в школе или в вузе, когда речь зашла о корне из минус единицы. О комплексных числах вам говорили как о воображаемых и предлагали с ними работать абстрактно, как с математической фикцией, которой нет в природе. У многих это вызвало определенную травму, ошибочное отношение к комплексным числам как к какой-то изобретенной людьми вещи, которой нет в природе. Но они были обмануты. Сама история комплексных чисел — это не скучная глава учебника, а детектив с несколькими столетиями поиска истины, заблуждений и гениальных озарений. С помощью комплексных чисел работает Wi-Fi, обрабатывается аудио и видео, функционируют законы квантовой механики и даже обычные механические колебания. В этом цикле из 7 статей мы пройдем полное путешествие от парадоксов Кардано до квантовой физики и современной инженерии — с философией, историей и практикой. Мы узнаем, почему комплексные числа являются языком вращений и колебаний, который повсеместно используется в современной инженерии, а также зачем математикам нужна структура минимальной сложности, в которой любое квадратное уравнение имеет корень.

https://habr.com/ru/articles/981234/

#комплексные_числа #история_математики #мнимая_единица #математический_анализ #алгебра #геометрия #математика_для_инженеров #физика #колебания #вращения

Царский путь к пониманию комплексных чисел. Часть I

Представьте, что вам сказали: «Этого не существует, просто запомни». Многие из вас слышали это в школе или в вузе, когда речь зашла о корне из минус единицы. О комплексных числах вам говорили как о воображаемых и предлагали с ними работать абстрактно, как с математической фикцией, которой нет в природе. У многих это вызвало определенную травму, ошибочное отношение к комплексным числам как к какой-то изобретенной людьми вещи, которой нет в природе. Но они были обмануты. Сама история комплексных чисел — это не скучная глава учебника, а детектив с несколькими столетиями поиска истины, заблуждений и гениальных озарений. С помощью комплексных чисел работает Wi-Fi, обрабатывается аудио и видео, функционируют законы квантовой механики и даже обычные механические колебания. В этом цикле из 7 статей мы пройдем полное путешествие от парадоксов Кардано до квантовой физики и современной инженерии — с философией, историей и практикой. Мы узнаем, почему комплексные числа являются языком вращений и колебаний, который повсеместно используется в современной инженерии, а также зачем математикам нужна структура минимальной сложности, в которой любое квадратное уравнение имеет корень.

https://habr.com/ru/articles/981234/

#комплексные_числа #история_математики #мнимая_единица #математический_анализ #алгебра #геометрия #математика_для_инженеров #физика #колебания #вращения

Царский путь к пониманию комплексных чисел. Часть I

Представьте, что вам сказали: «Этого не существует, просто запомни». Многие из вас слышали это в школе или в вузе, когда речь зашла о корне из минус единицы. О комплексных числах вам говорили как о воображаемых и предлагали с ними работать абстрактно, как с математической фикцией, которой нет в природе. У многих это вызвало определенную травму, ошибочное отношение к комплексным числам как к какой-то изобретенной людьми вещи, которой нет в природе. Но они были обмануты. Сама история комплексных чисел — это не скучная глава учебника, а детектив с несколькими столетиями поиска истины, заблуждений и гениальных озарений. С помощью комплексных чисел работает Wi-Fi, обрабатывается аудио и видео, функционируют законы квантовой механики и даже обычные механические колебания. В этом цикле из 7 статей мы пройдем полное путешествие от парадоксов Кардано до квантовой физики и современной инженерии — с философией, историей и практикой. Мы узнаем, почему комплексные числа являются языком вращений и колебаний, который повсеместно используется в современной инженерии, а также зачем математикам нужна структура минимальной сложности, в которой любое квадратное уравнение имеет корень.

https://habr.com/ru/articles/981234/

#комплексные_числа #история_математики #мнимая_единица #математический_анализ #алгебра #геометрия #математика_для_инженеров #физика #колебания #вращения

Царский путь к пониманию комплексных чисел. Часть I

Представьте, что вам сказали: «Этого не существует, просто запомни». Многие из вас слышали это в школе или в вузе, когда речь зашла о корне из минус единицы. О комплексных числах вам говорили как о воображаемых и предлагали с ними работать абстрактно, как с математической фикцией, которой нет в природе. У многих это вызвало определенную травму, ошибочное отношение к комплексным числам как к какой-то изобретенной людьми вещи, которой нет в природе. Но они были обмануты. Сама история комплексных чисел — это не скучная глава учебника, а детектив с несколькими столетиями поиска истины, заблуждений и гениальных озарений. С помощью комплексных чисел работает Wi-Fi, обрабатывается аудио и видео, функционируют законы квантовой механики и даже обычные механические колебания. В этом цикле из 7 статей мы пройдем полное путешествие от парадоксов Кардано до квантовой физики и современной инженерии — с философией, историей и практикой. Мы узнаем, почему комплексные числа являются языком вращений и колебаний, который повсеместно используется в современной инженерии, а также зачем математикам нужна структура минимальной сложности, в которой любое квадратное уравнение имеет корень.

https://habr.com/ru/articles/981234/

#комплексные_числа #история_математики #мнимая_единица #математический_анализ #алгебра #геометрия #математика_для_инженеров #физика #колебания #вращения

Космология виртуальной Вселенной (Часть I)

Предыдущие части: « Геометрическая головоломка на выходные », « Электродинамика виртуальной Вселенной », « Механика виртуальной Вселенной », « Квантовая механика виртуальной Вселенной (Часть I) », « Квантовая механика виртуальной Вселенной (Часть II) » « Релятивизм виртуальной Вселенной » Здравствуйте, дорогие читатели. Предлагаю Вашему вниманию продолжение цикла статей о физике виртуальной Вселенной. Мы прошли длинный путь и смогли многое описать в рамках поля на сфере S 3 с помощью модели Скирма, дополненной членом потенциала вакуума и расширенной на всё пространство. В самом начале, когда мы принимали гипотезу об общей замкнутости геометрии нашей виртуальной Вселенной и представили её в виде сферы S 3 — мы приняли её радиус >= 10 28 сантиметров, чтобы не конфликтовать с наблюдениями жителей этой самой виртуальной Вселенной о «плоскости» пространства. На тот момент, объяснение такого выбора было «заметено под ковёр», о чём я честно написал в заключении первой статьи. Кроме того я отметил, что к этому параметру нам ещё придётся вернуться. Это время пришло. Итак, давайте займёмся большим, в прямом и переносном смысле, делом — попробуем описать космологию нашей виртуальной Вселенной. Дисклеймер: Эта глава в первую очередь адресована специалистам и тем, кто привык критически относиться к фундаментальным моделям, хотя, надеюсь, она будет интересна и более широкой аудитории. Я не рассматриваю изложенную здесь модель как завершённую или окончательную теорию. Скорее, это попытка последовательно проверить, может ли единая фазовая SU(2)-структура дать связное описание известных физических масштабов — от микрофизики до космологии без введения дополнительных постулатов.

https://habr.com/ru/articles/976796/

#физика #математика #геометрия #теория_всего

Конструкция без единого анкера: как рассчитать в nanoCAD то, что не доверишь 2D

Реставрация 35-метрового храмового купола с его сложнейшими сводами требовала нестандартного подхода: возвести строительные леса, точно повторяющие криволинейную геометрию памятника и при этом абсолютно устойчивые без крепления к стенам. Выполнение этой задачи с помощью 3D-моделей вместо десятков чертежей, сокращение сроков проектирования в 3 раза и сложнейшая конструкция строительных лесов, рассчитанная на собственную устойчивость без единого анкера. Все это – результат одного решения, которое многие российские инженеры до сих пор боятся принять: отказ от AutoCAD в пользу Узнать больше

https://habr.com/ru/companies/nanosoft/articles/976766/

#проектирование #инженерия #реставрация #nanocad #строительство #3dпроектирование #cad #bimмоделирование #Конструкция #геометрия

Универсальный газодинамический резонатор для генерации излучения в ТГц и ИК диапазонах

В работе представлен универсальный газодинамический резонатор, способный работать в трёх режимах генерации излучения - когерентный инфракрасный квантовый генератор на молекулах CO₂, импульсный терагерцовый источник на основе тормозного излучения ускоренных электронов в плазме и гибридный режим с фазированным переходом от ТГц к ИК излучению. Проведён анализ термодинамических и химических условий, необходимых для реализации каждого режима. Показана невозможность полного подавления ИК-генерации в углеводородных смесях из-за обязательного образования CO₂ при горении. Предложен состав топлива, исключающий образование CO₂ (водород + кислород) для реализации "чисто ТГц" режима. Приведены пояснительные схемы и описания резонатора.

https://habr.com/ru/articles/975030/

#лазер #лазеры #физика #начнопопулярное #геометрия #волны #тгц #резонатор

Универсальный газодинамический резонатор для генерации излучения в ТГц и ИК диапазонах

В работе представлен универсальный газодинамический резонатор, способный работать в трёх режимах генерации излучения - когерентный инфракрасный квантовый генератор на молекулах CO₂, импульсный терагерцовый источник на основе тормозного излучения ускоренных электронов в плазме и гибридный режим с фазированным переходом от ТГц к ИК излучению. Проведён анализ термодинамических и химических условий, необходимых для реализации каждого режима. Показана невозможность полного подавления ИК-генерации в углеводородных смесях из-за обязательного образования CO₂ при горении. Предложен состав топлива, исключающий образование CO₂ (водород + кислород) для реализации "чисто ТГц" режима. Приведены пояснительные схемы и описания резонатора.

https://habr.com/ru/articles/975030/

#лазер #лазеры #физика #начнопопулярное #геометрия #волны #тгц #резонатор

Универсальный газодинамический резонатор для генерации излучения в ТГц и ИК диапазонах

В работе представлен универсальный газодинамический резонатор, способный работать в трёх режимах генерации излучения - когерентный инфракрасный квантовый генератор на молекулах CO₂, импульсный терагерцовый источник на основе тормозного излучения ускоренных электронов в плазме и гибридный режим с фазированным переходом от ТГц к ИК излучению. Проведён анализ термодинамических и химических условий, необходимых для реализации каждого режима. Показана невозможность полного подавления ИК-генерации в углеводородных смесях из-за обязательного образования CO₂ при горении. Предложен состав топлива, исключающий образование CO₂ (водород + кислород) для реализации "чисто ТГц" режима. Приведены пояснительные схемы и описания резонатора.

https://habr.com/ru/articles/975030/

#лазер #лазеры #физика #начнопопулярное #геометрия #волны #тгц #резонатор

Универсальный газодинамический резонатор для генерации излучения в ТГц и ИК диапазонах

В работе представлен универсальный газодинамический резонатор, способный работать в трёх режимах генерации излучения - когерентный инфракрасный квантовый генератор на молекулах CO₂, импульсный терагерцовый источник на основе тормозного излучения ускоренных электронов в плазме и гибридный режим с фазированным переходом от ТГц к ИК излучению. Проведён анализ термодинамических и химических условий, необходимых для реализации каждого режима. Показана невозможность полного подавления ИК-генерации в углеводородных смесях из-за обязательного образования CO₂ при горении. Предложен состав топлива, исключающий образование CO₂ (водород + кислород) для реализации "чисто ТГц" режима. Приведены пояснительные схемы и описания резонатора.

https://habr.com/ru/articles/975030/

#лазер #лазеры #физика #начнопопулярное #геометрия #волны #тгц #резонатор

Теорема Пифагора: великий обман школьной программы. Как абстракция убила смысл

Все мы знаем эту формулу. . Это, пожалуй, единственное знание из школьной геометрии, которое остается с человеком на всю жизнь, даже если он работает баристой или копирайтером. Но задавали ли вы себе когда-нибудь вопрос: почему именно квадраты? Почему не кубы? Почему не просто сумма модулей ? Если вы спросите учителя, он нарисует квадратики на сторонах треугольника. Если вы спросите преподавателя вуза, он напишет определение скалярного произведения. И оба они, по сути, вас обманут. Или, скажем мягче, недоговорят правду. Сегодня мы разберем этот «черный ящик» и увидим, что теорема Пифагора — это вовсе не про треугольники. И доказывать её нужно совсем не так, как нас учили. Школьная программа не дает ответа. Более того, история преподавания теоремы Пифагора — это история того, как живую, наглядную геометрию превращали в сухую, мертвую алгебру. Нас уводили всё дальше от понимания сути в сторону абстракции. Сегодня мы разберем этот путь деградации и покажем доказательство, которое вернет вас к реальности. Спойлер: теорема Пифагора — это не про треугольники. Она про зеркала . Приготовьтесь к полному разрыву всех шаблонов!

https://habr.com/ru/articles/972262/

#теорема_пифагора #математика #геометрия #школьная_программа #образование #векторная_алгебра #доказательство #симметрия #занимательная_математика #линейная_алгебра

[Перевод] Обнаружена первая фигура, не способная пройти через саму себя

Представьте, что у вас в руках два кубика одинакового размера. Можно ли просверлить в одном кубике отверстие, достаточное для того, чтобы другой кубик прошёл сквозь него? Возможно, ваш инстинкт подсказывает вам: «Конечно, нет!» Если да, то вы не одиноки. В конце 1600-х годов неизвестный человек заключил пари на эту тему с принцем Рупертом Рейнским. Руперт — племянник Карла I Английского, командовавший роялистскими войсками в Английской гражданской войне — провёл свои последние годы, изучая металлургию и стеклоделие в своей лаборатории в Виндзорском замке. Руперт выиграл пари. Математик Джон Уоллис, рассказывая эту историю в 1693 году, не уточнил, написал ли Руперт доказательство или проделал отверстие в реальном кубе. Но сам Уоллис математически доказал, что если проделать прямой туннель по одной из внутренних диагоналей куба, его можно сделать достаточно широким, чтобы пропустить другой куб. Ему там будет довольно тесно: если сделать второй куб всего на 4% больше, он уже не пройдёт.

https://habr.com/ru/articles/967314/

#геометрия #стереометрия #свойство_руперта

[Перевод] Стала ли AlphaGeometry прорывом в ИИ?

Примерно полгода назад математическое сообщество услышало новость о том, что исследователи DeepMind создали ИИ-систему, решающую геометрические задачи с Международной математической олимпиады на уровне, близком к золотым медалистам ММО . (Эту новость обсуждали в сабреддите \math, см., например, здесь и здесь .) За этими новостями, как часто бывает с новостями о прогрессе ИИ, последовала волна страха и ужаса, усиленная множеством громких газетных статей с картинками (разумеется, сгенерированными ИИ), на которых искусственные мозги решают ужасно сложные уравнения. По коллективной спине математического сообщества побежали мурашки, снова всплыли на поверхность обычные экзистенциальные вопросы о будущем человеческого интеллекта, а Интернет заполнили мемы о грядущем восстании машин. Я бы хотел взглянуть на эту тему под новым углом. (Предупреждение: возможно, для вас он не будет новым. Если вы имели дело с евклидовой геометрией, понимаете основы линейной алгебры и внимательно читаете журнал Nature, то могли прийти ко всем этим выводам самостоятельно. Но поскольку некоторые критичные аспекты изложены мелким шрифтом (вероятно, намеренно), я всё равно считаю, что их нужно сделать более очевидными.) Я узнал об этих исследованиях, когда кто-то выложил ссылку на пресс-релиз DeepMind в групповом чате моих друзей, любящих математику. Один мой друг с небольшими нотками паники рассказывал, что какой-то ИИ смог решить какую-то сложную задачу с ММО при помощи рассуждений, состоящих примерно из двухсот логических шагов. Вскоре все в чате начали грустно шутить о своём неизбежном увольнении и безработице.

https://habr.com/ru/articles/837336/

#международная_олимпиада #alphageometry #олимпиады_по_математике #геометрия

Как должны преподавать геометрию в школе

https://youtube.com/shorts/re0ysiUu6Rk

#Геометрия #Школа

Earcut на битах

Earcut - базовый, почти учебный алгоритм триангуляции, но при некоторых раскладах он обгоняет более "продвинутые" решения. Ампутировать

https://habr.com/ru/articles/917688/

#триангуляция #битовые_операции #геометрия #вычислительная_геометрия #gpu

[Перевод] GPU-вычисления в браузере на скорости нативного приложения: марширующие кубы на WebGPU

WebGPU — это мощный GPU-API для веба, поддерживает продвинутые рендеринговые конвейеры и вычислительные конвейеры GPU. WebGPU ключевым образом отличается от WebGL своей поддержкой вычислительных шейдеров и буферов хранения данных. В WebGL такие возможности отсутствуют, а WebGPU, в свою очередь, позволяет целиком выполнять в браузере мощные приложения, требующие вычислений на GPU. Речь может идти о самых разных приложениях, от GPGPU (напр., симуляции, обработка/анализ данных, машинное обучение, т.д.) до конвейеров рендеринга на основе GPU-вычислений — а также о многих других приложениях в этом спектре. В этой статье мы оценим вычислительную мощность WebGPU, сравнив её с показателями Vulkan. Для этого мы реализуем классический алгоритм «марширующие кубы» (Marching Cubes) для WebGPU. Алгоритм марширующих кубов почти без оговорок относится к чрезвычайно параллельным, в составе этого алгоритма выполняется два глобальных шага редукции, необходимых для синхронизации местоположений рабочих элементов и вывода потоков. Поэтому данное решение — отличный вариант GPU-параллельного алгоритма, который стоит первым делом попробовать на новой платформе. Дело в том, что он достаточно сложен, чтобы API испытал давление сразу по нескольким направлениям сверх элементарных параллельных операций диспетчеризации в ядре. При этом он не столь сложен, чтобы на его реализацию требовалось существенное время, а также он не превращается в узкое место из-за ограничения производительности ЦП.

https://habr.com/ru/articles/811519/

#Vulkan #CUDA #webgpu #программирование #компьютерная_графика #геометрия #шейдеры

[Перевод] Вековая тайна геометрии раскрыта: математики нашли минимальный объем для вращения «карандаша» в 3D

Представьте карандаш на столе. Задача: повернуть его так, чтобы он указал в каждом возможном направлении ровно один раз, минимально соприкасаясь со столом. Можно вращать карандаш круговым движением вокруг середины, но существуют более эффективные способы. По словам Джонатана Хикмана из Эдинбургского университета, эта проблема, хоть и кажется простой задачей о пересечении прямых, содержит удивительное богатство связей с другими математическими задачами. Математики полвека искали оптимальное решение для трехмерной версии этой задачи: как направить карандаш во все стороны в пространстве, минимизируя объем, через который он проходит. Эта проблема не поддавалась решению даже выдающимся математикам и связана со многими нерешенными вопросами.

https://habr.com/ru/articles/891126/

#математика #геометрия #фурье #размерность #пространство #пространство_минковского

Математика и физика для простой и результативной учёбы (Серия: Cельскому учителю в помощь). Часть II: Предмет математики

Мы познакомимся с элементами математики, каждодневно пользуемыми каждым естествознателем (математиком, физиком, инженером). Высшее образование строят на их познании и умении применить. В доступном изложении вы узнаете о современной геометрии и универсальных инструментах математической физики и инженерии (пространстве состояний, уравнениях движения, теории поля, энергии, конечных автоматах). Начать путешествие

https://habr.com/ru/articles/781786/

#математика #физика #конечные_автоматы #пространство_состояний #геометрия #теория_поля #уравнения_движения #уравнения_лагранжа #обучение #курсы

Математика и физика для простой и результативной учёбы (Серия: Cельскому учителю в помощь). Часть II: Предмет математики

Мы познакомимся с элементами математики, каждодневно пользуемыми каждым естествознателем (математиком, физиком, инженером). Высшее образование строят на их познании и умении применить. В доступном изложении вы узнаете о современной геометрии и универсальных инструментах математической физики и инженерии (пространстве состояний, уравнениях движения, теории поля, энергии, конечных автоматах). Начать путешествие

https://habr.com/ru/articles/781786/

#математика #физика #конечные_автоматы #пространство_состояний #геометрия #теория_поля #уравнения_движения #уравнения_лагранжа #обучение #курсы

[Перевод] Узоры оригами помогли решить важную физическую проблему

Амплитуэдр — это геометрическая фигура, обладающая почти мистическими свойствами : вычислив её объём, вы получите ответ на ключевой вопрос физики о том, как взаимодействуют частицы. Молодой математик из Корнеллского университета Павел (Паша) Галашин обнаружил, что амплитуэдр связан с оригами — искусством складывания бумаги. В доказательстве (октябрь 2024) он показал: узоры оригами можно перевести в набор точек, образующих амплитуэдр. Иными словами: способ складывания бумаги и способ столкновения частиц приводят к одной и той же геометрической форме. «Паша уже проделал блестящую работу, связанную с амплитуэдром», — сказал Нима Аркани-Хамед, один из авторов идеи амплитуэдра, изобретённого в 2013 году . «Но это для меня совершенно новый уровень». Опираясь на связь с оригами, Галашин решил открытую гипотезу: импульсный амплитуэдр можно разрезать на простые части, соответствующие физическим расчётам. Проще говоря, части амплитуэдра действительно соединяются так, как и должно быть. Результат не только связывает две разные области — математики уже исследуют, какие ещё идеи можно перенести по этому мосту. Они используют его, чтобы лучше понять амплитуэдр — и ответить на другие вопросы в гораздо более широком диапазоне контекстов.

https://habr.com/ru/companies/first/articles/965550/

#физика #оригами #графы #геометрия #амплитудэр #матрицы #векторы #изгиб

@ddipp Полагаю, тут не обойтись без тригонометрии. Пожалуй, решение не выходит за пределы школьного курса математики.

Я окончил школу тридцать два года назад, поэтому без изучения документации ответить не смогу. Читайте документацию по геометрии. А ещё эту задачу решают при проектировании телебашен.

P.S. #Земля не является идеальным шаром: расстояние через центр Земли между полюсами меньше, чем между противоположными точками экватора.

#математика #геометрия #тригонометрия #геоид

Единая теория всего… в 3D графике? Разбираем алгебру Клиффорда как универсальный язык геометрии

Привет, Хабр! Мы, программисты, инженеры и физики, привыкли к своему зоопарку математических инструментов. Векторы — для направлений и позиций. Матрицы — для трансформаций. Кватернионы — для вращений без головной боли с блокировкой осей. Комплексные числа — для 2D-поворотов и обработки сигналов. Каждый инструмент хорош для своей задачи, но мы постоянно переключаемся между ними, преобразуя данные и жонглируя концепциями. А что, если я скажу вам, что существует единый математический объект, который может быть всем этим одновременно ? Объект, который по своей природе является и скаляром, и вектором, и кватернионом, и даже спинором, в зависимости от того, как на него посмотреть. Это не фантастика. Это — алгебра Клиффорда , также известная как геометрическая алгебра. Идея настолько мощная, что она способна навсегда изменить ваш взгляд на геометрию в 3D. Пристегните ремни. Мы отправляемся в путешествие, где абстрактная алгебра превращается в наглядную геометрию. И огромное спасибо @master_program за переработку исходного текста в эту статью, а так же за дополнения и картинки, очень повысившие удобство чтения. ________________________________________________________________

https://habr.com/ru/articles/962800/

#геометрическая_алгебра #геометрия #алгебра_клиффорда #матрицы_паули #физика #вращения #отражения #комплексные_числа #векторы #кватернионы

Игра в танграм и её алгоритмический потенциал

Некоторое время назад я задумывался о том, возможно ли мышление без языка, только на уровне визуальных образов. В отличие от естественного языка, пиктографическая или геометрическая знаковая система в гораздо меньшей степени подвержена полисемии и ошибкам, связанным с неверной интерпретацией последовательности или контекста. Может ли быть, что визуальный язык окажется для некоторых машин/роботов более понятным, чем лингвистический? Размышляя об этом, я нашёл на Хабре статью уважаемого @FirstJohn в блоге компании FirstVDS « Семь дощечек мастерства на службе ML » от февраля 2023 года, рассказывающую об алгоритмическом применении танграма. Ниже я подробнее расскажу об этой игре, а также о том, как её сегодня пытаются применять в распознавании образов и при решении других задач, связанных с комбинаторикой.

https://habr.com/ru/articles/825626/

#танграм #компьютерное_зрение #комбинаторика #геометрия

Булевы операции двумерных тел

В детстве меня всегда завараживали игры с динамическим ландшафтом: The Castle и Worms Armageddon. В то время я не понимал, как реализована эта удивительная механика разрушения и изменения мира. Позже я узнал, что секрет заключался в использовании растровой графики, но интерес к теме не исчез. В этой статье я хочу рассказать о векторном решении аналогичной задачи.

https://habr.com/ru/articles/841572/

#булева_логика #булева_алгебра #геометрия #алгоритмы

Геометрический смысл комплексного гармонического осциллятора и винты

Аннотация: Исследуется связь комплексных решений уравнения гармонического осциллятора с винтовыми движениями. Показано, что суперпозиция решений с противоположной хиральностью описывает синхронизированные линейные и вращательные колебания в системе "груз-пружина". И что отдельно интересно, это то, что в очередной раз оказалось невероятно удобно работать с нейросетью DeepSeek: 1. Получилось сначала обсудить с ней идею, за пол дня, написав ей подобие промптов, а она в конце написала мне промпт, как для другой нейросети, над чем мне подумать. 2. А следующим днем у меня получилась канва на одну страницу, по которой DeepSeek за 1 минуту создала эту статью.

https://habr.com/ru/articles/916654/

#комплексные_числа #алгебры_клиффорда #кватернионы #геометрия #тфкп

DeepSeek-R1 и обобщённое уравнение плоскости: Как ИИ помог мне переосмыслить геометрическую алгебру

Привет, Хабр! Сегодня расскажу, как нейросеть DeepSeek-R1, несмотря на свои ограничения, помогла вывести обобщённое уравнение плоскости и поверхности второго порядка в геометрической алгебре (GA) через матрицы Паули. Это не просто история про «ИИ vs математика» — это пример симбиоза, где человек направляет, а машина предлагает идеи, которые иначе могли бы остаться незамеченными. Это пример того, как технологии расширяют возможности исследователя, а критическое мышление превращает сырые идеи в строгие математические конструкции. ___________________________________________________________________________

https://habr.com/ru/articles/883746/

#геометрическая_алгебра #матрицы_паули #кватернионы #геометрия