#алгебра_клиффорда — Public Fediverse posts

Давайте объединим линейную и геометрическую алгебры. На простом примере. Часть 1

Привет Хабр! Если вы когда-нибудь решали школьные задачи с параллелограммом, то знаете: найти все стороны, углы, диагонали, да ещё и опустить на них высоты — возни много. А потом ещё проверить, не перепутал ли ты, где синус, а где косинус. Оказывается, всю эту геометрию можно упаковать в одну маленькую матрицу 2×2. Буквально: берем два вектора-столбца, составляем матрицу — и в ней уже зашиты все возможные характеристики фигуры. Осталось только научиться их оттуда доставать. Во второй части хочу в том же ключе описать приемы посерьезнее: базис Клиффорда, сингулярное разложение, функция от матрицы. Поэтому ваши комментарии к этой части важны, чтобы проще написать следующую часть.

https://habr.com/ru/articles/1002526/

#геометрия #матрицы #алгебра_клиффорда #кватернионы #матрицы_паули #векторы

Единая теория всего… в 3D графике? Разбираем алгебру Клиффорда как универсальный язык геометрии

Привет, Хабр! Мы, программисты, инженеры и физики, привыкли к своему зоопарку математических инструментов. Векторы — для направлений и позиций. Матрицы — для трансформаций. Кватернионы — для вращений без головной боли с блокировкой осей. Комплексные числа — для 2D-поворотов и обработки сигналов. Каждый инструмент хорош для своей задачи, но мы постоянно переключаемся между ними, преобразуя данные и жонглируя концепциями. А что, если я скажу вам, что существует единый математический объект, который может быть всем этим одновременно ? Объект, который по своей природе является и скаляром, и вектором, и кватернионом, и даже спинором, в зависимости от того, как на него посмотреть. Это не фантастика. Это — алгебра Клиффорда , также известная как геометрическая алгебра. Идея настолько мощная, что она способна навсегда изменить ваш взгляд на геометрию в 3D. Пристегните ремни. Мы отправляемся в путешествие, где абстрактная алгебра превращается в наглядную геометрию. И огромное спасибо @master_program за переработку исходного текста в эту статью, а так же за дополнения и картинки, очень повысившие удобство чтения. ________________________________________________________________

https://habr.com/ru/articles/962800/

#геометрическая_алгебра #геометрия #алгебра_клиффорда #матрицы_паули #физика #вращения #отражения #комплексные_числа #векторы #кватернионы

Давайте забудем всё про скалярное и векторное. Есть способ гораздо лучше

Каждый, кто прошел через курс линейной алгебры или физики в универе, помнит этот странный дуализм. Нас учили, что у векторов есть целых ДВА вида произведения. Первое, скалярное , съедает два вектора и выдает число. Геометрически — это что-то про проекции и углы. Второе, векторное , тоже съедает два вектора и… внезапно выплевывает третий вектор, перпендикулярный первым двум. Причем работает этот фокус только в 3D и 7D. Всегда казалось, что это какой-то математический «костыль». Почему так сложно? Почему два разных продукта для разных задач? Почему один зависит от косинуса, а другой от синуса? Что, если я скажу вам, что это действительно «костыли»? Что существует единое, универсальное и элегантное геометрическое произведение , которое включает в себя оба этих случая (и многое другое), и которое основано на одной-единственной, кристально ясной идее. Идее, которая меняет взгляд на саму суть математики. Эта статья — приглашение в мир Геометрической Алгебры . Мы собираемся переизобрести умножение.

https://habr.com/ru/articles/960192/

#геометрическая_алгебра #геометрия #алгебра_Клиффорда #матрицы_паули #физика #вращения #отражения #отражения_Хаусхолдера

Об уравнениях Максвелла в пространстве Минковского

В прошлой статье я вывел уравнения Максвелла в 3D, даже не пользуясь никаким пространством Минковского, исключительно в евклидовом пространстве. И они естественным образом в той же форме писались в многомерном евклидовом пространстве. Также рекомендую прочесть соседнюю статью для введения в тему. Любопытно, что их можно ввести аналогично в пространстве Минковского и они будут эквивалентны моим. Также им эквивалентна кватернионная форма, но она является не более чем искусственной подгонкой векторов поля под кватернионы. Покажу теперь естественную формулировку в пространстве Минковского без кватернионов.

https://habr.com/ru/articles/959682/

#геометрическая_алгебра #физика #алгебра_клиффорда #уравнения_максвелла #геометрия_Минковского #пространствовремя

Что скрывается за «плюс» и «умножить»? От школьной арифметики до геометрической алгебры

Недавно один из читателей оставил развернутый комментарий к моей статье , в котором очень точно описал чувство растерянности при первом знакомстве с геометрической алгеброй. Он пишет: « Нельзя просто спрятаться за ответом "это формальная сумма", должен быть конкретный оператор "плюс", действующий из в какое-то другое пространство. Но в какое? » Этот вопрос абсолютно закономерен и бьет в самую суть. Путаница возникает из-за того, что новые идеи часто подаются без явного описания той математической структуры, на которой они живут. Давайте построим ее с нуля.

https://habr.com/ru/articles/958666/

#геометрическая_алгебра #алгебра_Клиффорда #уравнения_максвелла #матрицы_паули

Уравнения Максвелла и геометрическая алгебра

Здесь вы можете узнать о том, как все 4 уравнения Максвелла, выражаемые через сложные дифференциальные операторы, можно выразить одним единственным уравнением первого порядка очень простой формы.

https://habr.com/ru/articles/958088/

#Геометрическая_алгебра #физика #алгебра_Клиффорда #уравнения_максвелла #матрицы_паули

Исчисление геометрии Часть 1. Алгебры Клиффорда

Это начало серии статей, дающих достаточно мягкое, но последовательное введение в геометрические алгебры , известные также как алгебры Клиффорда . Её можно считать естественным продолжением цикла «Изобретаем числа» , в котором мы знакомились с разнообразной арифметической экзотикой: двойными, дуальными и гиперболическими числами, а так же с методикой расширения числовых колец и полей всевозможными добавками, мнимыми и не очень. Теперь мы эти добавки смешаем, не взбалтывая так, чтобы получающимися числами можно было моделировать целые геометрии. Предлагаемый цикл я рассматриваю как дополнение к популярным введениям и обзорам геометрической алгебры, хотя оно может быть полезным и как первое знакомство с предметом. Его отличает больший чем обычно акцент на алгебраическую часть, а также следование оригинальному подходу Эрика Ленгэля (Eric Lengyel) к построению геометрических алгебр, который мне представляется наиболее последовательным и логически непротиворечивым.

https://habr.com/ru/articles/776556/

#геометрическая_алгебра #алгебра_клиффорда #haskell #геометрия #алгебра

Топологический кубит от Microsoft — почему его не воспринимают всерьёз

Как известно, в феврале 2025 года научная группа Microsoft Quantum анонсировала процессор Majorana 1 как «первый в мире квантовый процессор на топологических кубитах» ( статья в Nature ). Топологический кубит состоит из энионов — двухмерных квазичастиц, которые физики обнаружили несколько лет назад . Энионы ещё не вошли в школьную программу, чтобы дополнить комплект из фермионов (например, к ним относятся электроны) и бозонов (к ним относятся фотоны) как третий класс элементарных частиц и квазичастиц в физике. До настоящего времени мало кто интересовался, что такое энионы, этот вопрос занимал разве что теоретических физиков. Но Microsoft утверждает, что уникальные 2D-частицы можно использовать для квантовых вычислений, а именно для конструирования «особо надёжных» топологических кубитов.

https://habr.com/ru/companies/ruvds/articles/896798/

#топологический_кубит #нулевые_моды_Майораны #QPU #энионы #квазичастицы #квантовая_отказоустойчивость #квантовый_эффект_Холла #тетроны #хирургия_решётки #lattice_surgery #Сверхинтеллект #алгебра_Клиффорда

Топологический кубит от Microsoft — почему его не воспринимают всерьёз

Как известно, в феврале 2025 года научная группа Microsoft Quantum анонсировала процессор Majorana 1 как «первый в мире квантовый процессор на топологических кубитах» ( статья в Nature ). Топологический кубит состоит из энионов — двухмерных квазичастиц, которые физики обнаружили несколько лет назад . Энионы ещё не вошли в школьную программу, чтобы дополнить комплект из фермионов (например, к ним относятся электроны) и бозонов (к ним относятся фотоны) как третий класс элементарных частиц и квазичастиц в физике. До настоящего времени мало кто интересовался, что такое энионы, этот вопрос занимал разве что теоретических физиков. Но Microsoft утверждает, что уникальные 2D-частицы можно использовать для квантовых вычислений, а именно для конструирования «особо надёжных» топологических кубитов.

https://habr.com/ru/companies/ruvds/articles/896798/

#топологический_кубит #нулевые_моды_Майораны #QPU #энионы #квазичастицы #квантовая_отказоустойчивость #квантовый_эффект_Холла #тетроны #хирургия_решётки #lattice_surgery #Сверхинтеллект #алгебра_Клиффорда

Топологический кубит от Microsoft — почему его не воспринимают всерьёз

Как известно, в феврале 2025 года научная группа Microsoft Quantum анонсировала процессор Majorana 1 как «первый в мире квантовый процессор на топологических кубитах» ( статья в Nature ). Топологический кубит состоит из энионов — двухмерных квазичастиц, которые физики обнаружили несколько лет назад . Энионы ещё не вошли в школьную программу, чтобы дополнить комплект из фермионов (например, к ним относятся электроны) и бозонов (к ним относятся фотоны) как третий класс элементарных частиц и квазичастиц в физике. До настоящего времени мало кто интересовался, что такое энионы, этот вопрос занимал разве что теоретических физиков. Но Microsoft утверждает, что уникальные 2D-частицы можно использовать для квантовых вычислений, а именно для конструирования «особо надёжных» топологических кубитов.

https://habr.com/ru/companies/ruvds/articles/896798/

#топологический_кубит #нулевые_моды_Майораны #QPU #энионы #квазичастицы #квантовая_отказоустойчивость #квантовый_эффект_Холла #тетроны #хирургия_решётки #lattice_surgery #Сверхинтеллект #алгебра_Клиффорда

Топологический кубит от Microsoft — почему его не воспринимают всерьёз

Как известно, в феврале 2025 года научная группа Microsoft Quantum анонсировала процессор Majorana 1 как «первый в мире квантовый процессор на топологических кубитах» ( статья в Nature ). Топологический кубит состоит из энионов — двухмерных квазичастиц, которые физики обнаружили несколько лет назад . Энионы ещё не вошли в школьную программу, чтобы дополнить комплект из фермионов (например, к ним относятся электроны) и бозонов (к ним относятся фотоны) как третий класс элементарных частиц и квазичастиц в физике. До настоящего времени мало кто интересовался, что такое энионы, этот вопрос занимал разве что теоретических физиков. Но Microsoft утверждает, что уникальные 2D-частицы можно использовать для квантовых вычислений, а именно для конструирования «особо надёжных» топологических кубитов.

https://habr.com/ru/companies/ruvds/articles/896798/

#топологический_кубит #нулевые_моды_Майораны #QPU #энионы #квазичастицы #квантовая_отказоустойчивость #квантовый_эффект_Холла #тетроны #хирургия_решётки #lattice_surgery #Сверхинтеллект #алгебра_Клиффорда