#натуральные_числа — Public Fediverse posts

[Перевод] Почему вещественные числа такие странные

В прошлом посте я писал о попытках вывести математику из принципов формальной логики . Мы начали с арифметики Пеано, в которой построение натуральных чисел выполнялось из двух произвольных конструкций: элемента, обозначающего ноль, и абстрактной функции следования S(…) . Затем мы перешли к теории множеств, позволившей закодировать внутреннюю структуру этих символов. В результате получилась иерархия натуральных чисел теории множеств, называемых ординалами . Также это привело к интересному выводу: если мы допускаем существование бесконечных множеств, то и само множество всех натуральных чисел (ℕ) имеет структуру ординала. В статье мы обозначили это бесконечное число, как ω и продемонстрировали, что им можно манипулировать при помощи те же арифметических правил, что и конечными числами, но иногда оно ведёт себя неожиданным образом. Например, мы выяснили, что ω + 1 ≠ 1 + ω . Также мы затронули различные способы рассуждений о величине ординалов и показали, что в мире бесконечностей эти способы расходятся. В частности, мы говорили о придуманном Георгом Кантором понятии кардинальности , помещавшим множество отдельных бесконечных ординалов в один класс размеров, но показывавшим, что существует фундаментальная разница в размерах между множеством натуральных чисел и множеством вещественных (ℝ). Если вы ещё не читали эту статью, то крайне рекомендую это сделать. После этого, возможно, вас озаботит следующий вопрос: мы подробно определяли натуральные числа, начиная с первооснов, но затем как-то внезапно ввели вещественные числа. Этот пробел стоит закрыть, потому что, как оказывается, вещественные числа крайне странные.

https://habr.com/ru/articles/1014764/

#вещественные_числа #натуральные_числа #рациональные_числа #иррациональные_числа #теория_множеств

Симметрии СМ-модели, идемпотенты. Часть V

Продолжаем знакомство с моделью числа и ее свойствами, а конкретно, с симметриями, которое этой публикацией завершается. Симметрии излагались на разном уровне представления модели: областей строк, отдельных строк, элементов одной строки и элементов разных строк. Для читателей, ознакомившимися с моими предыдущими статьей 1(О разложении модели числа), статьей 2 (О симметриях...) и др. предлагается продолжить знакомство с проблемой моделирования и исследования чисел. Объект натуральный ряд чисел (НРЧ) настолько богат известными и совершенно новыми свойствами, что само их перечисление потребовало бы много места и времени. В этой публикации рассматриваются симметрии, связанные с идемпотентами кольца. Их роль в отображении строк-дублей совершенно не похожа ни на что из рассмотренного ранее, как, впрочем, и для других «осей симметрии». Если, например, центральная строка СММ раздвигала\ сдвигала строки-дубли на постоянный интервал, то линия раздела строк идемпотентов, наоборот, как бы «склеивает» (делает смежными) удаленные строки. Разговор о симметриях подходит к концу, возможно, мне не все удалось увидеть и рассмотреть, изложить текстом, но я старался исследованное мной явление описать в подробностях и деталях. Я представляю, что для проведения успешной атаки на шифр ключевую роль может сыграть «малозначащая» деталь, которую старался не упустить из внимания. Цель публикации в первую очередь образовательная, познавательная, популяризация науки, а также стремление привлечь в ряды исследователей, в науку приток новых молодых (и не очень) умов, вызвать в таких умах стремление к поиску ответов на возникающие вопросы. Масштабность темы требует ввести разумные ограничения на излагаемый материал после краткого панорамного её рассмотрения

https://habr.com/ru/articles/834744/

#модель #число #кольцо_вычетов #натуральные_числа #решеющий_интервал #последовательность_нечетных_чисел #делители #кратные_делителей #идемпотент #инволюция

Сумма степеней натурального ряда. Часть 1

Вам наверняка известна история о математике Карле Гауссе. Когда ему было восемь лет, учитель задал его классу задачу посчитать сумму всех натуральных чисел от до . Пока остальные дети трудились над последовательным сложением, Гаусс нашел простое и изящное решение. Он заметил, что числа можно сгруппировать в пар с одинаковой суммой и мгновенно получил ответ . Достаточно несложно вывести общую формулу для суммирования произвольного количества натуральных чисел. Найти суммы для сложения вторых, третьих, четвертых и так далее степеней натуральных чисел уже значительно сложнее. В этой статье мы рассмотрим графический метод нахождения формул для суммы степеней натурального ряда.

https://habr.com/ru/articles/823662/

#математика #алгоритмы #собеседования #задачи #гаусс #сумма_кубов #сумма_квадратов #натуральные_числа #пифагор #наглядно

Сумма степеней натурального ряда. Часть 1

Вам наверняка известна история о математике Карле Гауссе. Когда ему было восемь лет, учитель задал его классу задачу посчитать сумму всех натуральных чисел от до . Пока остальные дети трудились над последовательным сложением, Гаусс нашел простое и изящное решение. Он заметил, что числа можно сгруппировать в пар с одинаковой суммой и мгновенно получил ответ . Достаточно несложно вывести общую формулу для суммирования произвольного количества натуральных чисел. Найти суммы для сложения вторых, третьих, четвертых и так далее степеней натуральных чисел уже значительно сложнее. В этой статье мы рассмотрим графический метод нахождения формул для суммы степеней натурального ряда.

https://habr.com/ru/articles/823662/

#математика #алгоритмы #собеседования #задачи #гаусс #сумма_кубов #сумма_квадратов #натуральные_числа #пифагор #наглядно

Сумма степеней натурального ряда. Часть 1

Вам наверняка известна история о математике Карле Гауссе. Когда ему было восемь лет, учитель задал его классу задачу посчитать сумму всех натуральных чисел от до . Пока остальные дети трудились над последовательным сложением, Гаусс нашел простое и изящное решение. Он заметил, что числа можно сгруппировать в пар с одинаковой суммой и мгновенно получил ответ . Достаточно несложно вывести общую формулу для суммирования произвольного количества натуральных чисел. Найти суммы для сложения вторых, третьих, четвертых и так далее степеней натуральных чисел уже значительно сложнее. В этой статье мы рассмотрим графический метод нахождения формул для суммы степеней натурального ряда.

https://habr.com/ru/articles/823662/

#математика #алгоритмы #собеседования #задачи #гаусс #сумма_кубов #сумма_квадратов #натуральные_числа #пифагор #наглядно