#вещественные_числа — Public Fediverse posts

[Перевод] Почему вещественные числа такие странные

В прошлом посте я писал о попытках вывести математику из принципов формальной логики . Мы начали с арифметики Пеано, в которой построение натуральных чисел выполнялось из двух произвольных конструкций: элемента, обозначающего ноль, и абстрактной функции следования S(…) . Затем мы перешли к теории множеств, позволившей закодировать внутреннюю структуру этих символов. В результате получилась иерархия натуральных чисел теории множеств, называемых ординалами . Также это привело к интересному выводу: если мы допускаем существование бесконечных множеств, то и само множество всех натуральных чисел (ℕ) имеет структуру ординала. В статье мы обозначили это бесконечное число, как ω и продемонстрировали, что им можно манипулировать при помощи те же арифметических правил, что и конечными числами, но иногда оно ведёт себя неожиданным образом. Например, мы выяснили, что ω + 1 ≠ 1 + ω . Также мы затронули различные способы рассуждений о величине ординалов и показали, что в мире бесконечностей эти способы расходятся. В частности, мы говорили о придуманном Георгом Кантором понятии кардинальности , помещавшим множество отдельных бесконечных ординалов в один класс размеров, но показывавшим, что существует фундаментальная разница в размерах между множеством натуральных чисел и множеством вещественных (ℝ). Если вы ещё не читали эту статью, то крайне рекомендую это сделать. После этого, возможно, вас озаботит следующий вопрос: мы подробно определяли натуральные числа, начиная с первооснов, но затем как-то внезапно ввели вещественные числа. Этот пробел стоит закрыть, потому что, как оказывается, вещественные числа крайне странные.

https://habr.com/ru/articles/1014764/

#вещественные_числа #натуральные_числа #рациональные_числа #иррациональные_числа #теория_множеств

Числовой тип данных с плавающей точкой float IEEE 754

Как устроен формат кодирования с плавающей точкой, что он из себя представляют и где может использоваться.

https://habr.com/ru/articles/957822/

#Тип_данных #кодирование #кодирование_аудио #вещественные_числа #float32 #floating_point #floating_point_numbers #float

[Перевод] Калькулятор? Да его напишет кто угодно

[Прим. пер.: на Хабре уже был перевод этой статьи, но незавершённый примерно на четверть.] Неправда. Калькулятор должен показывать результат введённого математического выражения. А это намно-о-ого сложнее, чем кажется. В этом посте я расскажу величайшую историю о разработке приложения-калькулятора. На изображении выше показан калькулятор из iOS. Заметили что-нибудь? Он посчитал неправильно. (10 100 ) + 1 − (10 100 ) равно 1, а не 0. Android считает правильно. А причина, по которой он это делает, абсолютно безумна.

https://habr.com/ru/articles/883366/

#калькуляторы #иррациональные_числа #рациональные_числа #вещественные_числа #арифметика

LibMPU (Длинная арифметика)

Библиотека выполнена как эмулятор процессора с набором регистров и флагов, устанавливаемых по результатам проведенных операций. Набор целочисленных функций содержит арифметические, логические операции, а также операции сдвига. Для вещественных и комплексных чисел реализованы основные тригонометрические функции. Разрядность ограничена 65536 бит для арифметических операций и 16384 бит для тригонометрии. Ограничения обусловлены порядком рядов аппроксимации.

https://habr.com/ru/articles/871766/

#большие_числа #длинная_арифметика #си #тригонометрические_функции #целые_числа #вещественные_числа #комплексные_числа

big Big FLOAT! Произвольная точность: сравниваем opensource-программы для научных и математических вычислений

При проведении научных или математических исследований часто оказывается, что решить аналитически (символьно, с помощью формул) невозможно или очень сложно. И в этом случае мы решаем задачу численно. Для численного решения точность имеет решающее значение. Аппаратной точности чисел с плавающей запятой (поддерживаемых современными CPU) в 32, 64 и 80 бит может не хватить. И даже чисел четверной точности может не хватить при многочисленных итерациях, в каждой из которой может происходить потеря точности. Если операции неэлементарны, то мы не сможем применить алгоритмы коррекции ошибок по типу алгоритма Кэхэна . В этих случаях нам приходят на помощь вещественные числа произвольной точности. В статье мы рассмотрим несколько бесплатных программ с их поддержкой и сравним их. Каждая программа считает по-своему...

https://habr.com/ru/companies/ruvds/articles/845084/

#arbitrary_precision #big_float #вещественные_числа #ruvds_статьи