#математическая_логика — Public Fediverse posts

Можно ли вычислить всё? О Гёделе, Тьюринге и программировании

Мы привыкли думать, что чем умнее система, тем ближе она к полному объяснению мира. Но математика давно оставила нам очень неприятное напоминание: даже внутри строгих формальных систем есть вещи, которые нельзя доказать изнутри. Так что тогда это говорит о программировании, вычислимости и о нас самих?

https://habr.com/ru/articles/1028638/

#теорема_Гёделя #теорема_о_неполноте #математическая_логика #Алан_Тьюринг #проблема_остановки #вычислимость #формальные_системы #программирование #нейросети #аксиомы

Простые числа и многозначные логики

Интересным является вопрос о погружении арифметики в n+1 -значные логики Лукасевича Ł n+1 . Какая часть арифметики может быть погружена в Ł n+1 ? Для функции φ( х ) = m рассматривается обратная к ней, определяемая соотношением φ –1 ( m ) = { n , φ( n ) = m }, где φ( х ) – функция Эйлера. Пример , если φ( n ) = 4 , то это уравнение имеет ровно четыре решения φ –1 ( 4 ) = { 5, 8, 10, 12 }. Гольдбахом (1690 –1764) поставлена проблема о разложении четных чисел ≥ 4 на сумму двух простых. Если это верно, то для каждого числа m найдутся простые числа р и q такие, что φ( р ) + φ( q ) = 2m. Эдмунд Ландау в 1912 г. на международном конгрессе математиков в Кембридже заявил, что проблема Гольдбаха недоступна для современного состояния науки. Недоступна она и сейчас. Верифицируемость предположения Гольдбаха установлена до 4∙10 14 . Делались попытки найти формулу, с помощью которой вычислялись бы (или порождались) все простые числа. Наилучший результат принадлежит Ю.В. Матиясевичу (1977), который нашел полином из 10 переменных. Асимптотическое распределение простых чисел в НРЧ, доказываемое аналитическими методами, приводится в книге К. Прахара (1967). О первых 50 млн простых чисел статья Д. Цагера (1984). Можно считать, что впервые на проблему решения подобных уравнений обратил внимание Э. Люка (1842 – 1891). Об этом сказано в книге И.В. Арнольда (1939) «… следуя Люка, сгруппированы числа n с одним и тем же значением функции φ( n ) в пределах от 1 до 100 , т.е. дана таблица функции обратной по отношению φ( n )» В книге Серпинского (1968) задача №245 «Найти все натуральные числа n≤ 30 , для которых φ( n ) = d ( n ), где φ( n ) – функция Эйлера, а число d ( n ) – число натуральных делителей числа n ». Рассмотрим только случай n = 30 . Делителями числа 30 являются числа 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 и 30 , т.е. d ( n = 30 ) = 8 . Значит надо решить уравнение φ( 30 ) = 8 , где n≤ 30. Или, по-другому, найти значения для обратной функции Эйлера φ –1 ( 8 ), т.е. определить множество { n , φ ( n ) = 8 } для n≤ 30. Это множество образовано числами { 15, 16, 20, 24, 30 }. Более того, ни для каких других n >30 φ ( n ) ≠ 8 . Множество значений φ –1 ( m ) = Ø пусто для всех нечетных значений и многих четных значений m > 1 . В первой сотне числа 14, 26, 34, 38, 50, 62, 68, 74, 76, 86, 90, 94 и 98 не являются значениями φ ( n ).

https://habr.com/ru/articles/943892/

#Логика #математическая_логика #простые_числа #натуральный_ряд_чисел #графы #функция_Эйлера #эквивалентность #классы_эквивалентности #нормальные_формы #штрих_Шеффера

На чем основана логика? Часть 1. Алгебра множеств без аксиом

Сразу начну с гипотезы, положенной в основу данной статьи: вся классическая логика основана на множествах, точнее, на алгебре множеств . Должен сказать, что в современной логике и математике эта гипотеза считается ошибочной , так как еще на рубеже XIX и XX столетий сложилось убеждение (точнее, заблуждение ), что понятие «множество» противоречиво. Мне представляется, что настала пора избавляться от этого и некоторых других заблуждений, связанных с логикой.

https://habr.com/ru/articles/781386/

#алгебра_множеств #теория_множеств #логика #аксиоматический_метод #математическая_логика

На чем основана логика? Часть 1. Алгебра множеств без аксиом

Сразу начну с гипотезы, положенной в основу данной статьи: вся классическая логика основана на множествах, точнее, на алгебре множеств . Должен сказать, что в современной логике и математике эта гипотеза считается ошибочной , так как еще на рубеже XIX и XX столетий сложилось убеждение (точнее, заблуждение ), что понятие «множество» противоречиво. Мне представляется, что настала пора избавляться от этого и некоторых других заблуждений, связанных с логикой.

https://habr.com/ru/articles/781386/

#алгебра_множеств #теория_множеств #логика #аксиоматический_метод #математическая_логика